Lineare Optimierung Einführung

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1 Inhaltsverzeichnis 0 Begri das Verfahren Saftpanscher Bedingungen das mathematische Modell Planungsvieleck Kostenfunktion Gemüseanbau I Gemüseanbau I (Lösung) Wahl der Variablen Bedingungen Planungsvieleck Zielfunktion Lösung Probe Gemüseanbau II Gemüseanbau II (Lösungen) Bedingungen Nebenbedingung Planungsvieleck Zielfunktion Ergebnis Aufgabe: Saftpanscher II Ansatz, Elimination von m Planungsvieleck Kostengerade Kosten-Minimum Ansatz, Elimination von h Randbedingungen

2 4.2.3 Planungsvieleck Kostengerade Kosten-Minimum Ansatz, Elimination von p , Planungsvieleck Kostengerade Kosten-Minimum Ergebnis Vitamine Aufgabe Lösungsskizze-Version Lösungsskizze-Version Zielgerade Kritik Das Verfahren der linearen Optimierung 39 7 Einschub: Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen LGS Graphische Darstellung Rechnerische Lösung Existenz einer Lösung Bestimmung der Lösung Determinanten Beispiel Zusammenfassung (Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen) Erzmischung Aufgabe Tabelle Bedingungen/ Planungsvieleck Zielfunktion Minimum Designer (mit Geogebra) Hinweise

3 Einschub: Geogebra Fenster-Einstellungen Lösung Bedingungen Ungleichungen für das Planungsvieleck Planungsvieleck für GeoGebra (I) Planungsvieleck für GeoGebra (II) Ecken des Planungsvieleckes Gewinnfunktion und nun LibreCalc/OOCALC Eingaben Schnittpunkte Überprüfung der Schnittpunkte Einschub: bedingte Formatierung eigene Formatvorlagen bedingte Formatierung Gewinne Berechnung Maximum

4 0 Begri Die ist eines der Hauptverfahren des Operations Research und beschäftigt sich mit der Optimierung linearer Zielfunktionen über einer Menge, die durch lineare Gleichungen und Ungleichungen eingeschränkt ist. Es gibt viele Probleme, für die keine speziell entwickelten Lösungsverfahren bekannt sind (z.b. Planungsaufgaben für Verkehrs- oder Telekommunikationsnetze oder in der Produktionsplanung), die sich aber mit Hilfe der Linearen Optimierung weitestgehend lösen lassen. Viele Eigenschaften linearer Optimierungsaufgaben lassen sich auch als Eigenschaften von Polyedern interpretieren und auf diese Art geometrisch motivieren und beweisen. Der auch oft benutzte Begri lineare Programmierung ist nicht als Computerprogramm zu verstehen, sondern eher im Sinne von Planungs-Heuristik. Er wurde schon Mitte der 1940er Jahre von George Dantzig, einem der Begründer der Linearen Optimierung, benutzt, bevor man daran dachte, Computer zur Lösung solcher Probleme zu benutzen. 0.1 das Verfahren Wir werden (i.w) nur Probleme behandeln, in denen nur zwei Variablen, z,b, x, y, existieren. Im ersten Schritt wird das sogenannte Planungsvieleck ermittelt. Eine Anzahl von Bedingungen, die als lineare Ungleichungen formuliert werden können, muss erfüllt werden. Damit ist eine konvexe, geradlinig begrenzte Teilmenge der Ebene deniert, die alle Punkte enthält, die zulässig sind. Im nächsten Schritt wird eine Zielfunktion f (x, y) ermittelt, deren Maximum (bzw. Minimum ) für das Planungsvieleck gesucht wird. Am einfachsten lässt sich dies an einem Beispiel erklären. 4

5 1 Saftpanscher Bedingungen Die Zwillinge Franz und Franziska möchten für Ihre Geburtstagsfeier ein Mixgetränk kreieren. Sie können die von Ihrem Urgroÿvater geerbte Milchkanne ( Fassungsvermögen 20 l) benutzen, wollen aber mindestens 15 Liter Getränk bekommen. Als mögliche Zutaten stehen zur Verfügung: ˆ Himbeersaft, der Liter zu 1,00 e ˆ Mango-Konzentrat, der Liter zu 2,00 e Das Mango-Konzentrat schmeckt sehr stark durch; sein Anteil sollte nicht über einem Drittel liegen. Franz und Franziska haben bereits zwei Liter Himbeersaft und einen Liter Mango-Konzentrat. Wie nden sie eine Kombination, die möglichst wenig kostet, aber die Bedingungen erfüllt? 1.2 das mathematische Modell Wir müssen (Un-)Gleichungen nden, die Bedingungen der Aufgabe wiedergeben. Dazu bezeichnen wie die Mengen an Himbeersaft und Mango- Konzentrat (jeweils in Litern) mit h bzw. m. Zuerst kümmern wir uns nur darum, was möglich ist; die Kosten behandeln wir später. Die Bedingungen der Aufgaben sind: ˆ (mindestens) zwei Liter Himbeersaft sollen verwendet werden: h 2 (1) ˆ (mindestens) ein Liter Mango-Konzentrat soll verwendet werden: m 1 (2) ˆ die Mischung muss in die Kanne passen; maximal 20 Liter h + m 20 (3) 5

6 ˆ Sie möchten mindestens 15 Liter der Mischung bekommen : h + m 15 (4) ˆ In der Mischung soll maximal ein drittel Mango sein; d.h. die Menge Himbeersaft muss mindestens das doppelte der Menge Mango-Konzentrat sein: h 2m (5) Ich fasse die Ungleichungen zusammen: h 2 (1) m 1 (2) h + m 20 (3) h + m 15 (4) h 2m (5) und löse sie - falls möglich - jeweils nach m auf: h 2 (1) m 1 (2) m h + 20 (3) m h + 15 (4) m 1 2 h (5) 1.3 Planungsvieleck Da wir nur zwei Variablen h, m haben, können wir diese Bedingungen gut in einem Koordinatensystem veranschaulichen: Wir beginnen mit den beiden ersten Bedingungen (Abb 1). Die blau bzw. gelb gefärbten Bereiche sind verboten, da in ihnen gegen (mindestens) eine Bedingung verstoÿen wird. Im nächsten Schritt (Abb 2) berücksichtigen wie die beiden Bedingungen m h + 20 und m h Die rot bzw. grün unterlegten Bereiche sind auch nicht zulässig 6

7 Abbildung 1: h 2 ; m 1 Abbildung 2: h 2 ; m 1 ; m h + 20 ; m h + 15 Im letzten Schritt (Abb 3) wird die Bedingung m 1 h durch die graue 2 Sperr-Fläche berücksichtigt. Die rot bzw. grün unterlegten Bereiche sind auch nicht zulässig Es bleibt nur ein kleiner weiÿer Bereich, der alle Randbedingung en erfüllt; 7

8 Abbildung 3: h 2 ; m 1 ; m h + 20 ; m h + 15 ; m 1 2 h wir nennen ihn Planungsvieleck. Beachte auch, dass die Bedingung m 1 keine Rolle mehr spielt; sie wird von anderen Bedingungen mit abgedeckt. Dieses Planungsvieleck ist in Abb. 4 vergröÿert dargestellt. Abbildung 4: Planungsviereck (mit Zielfunktion) 8

9 1.4 Kostenfunktion Wir haben uns bisher nur damit beschäftigt, was überhaupt in Frage kommt - nun geht es um die Kosten. Es sollt klar sein, dass wir uns über z.b. die Kosten beim Einsatz von je 1 l Himbeersaft und 1 l Mango-Konzentrat keine Gedanken mehr machen sollten, da diese Kombination gegen mehrere Randbedingungen verstöÿt. Wir berechnen testweise für einige mögliche Kombinationen die Kosten: h/l m/l Kosten/ e Wir stellen fest, dass wir mehrere Kombinationen für 21 e und mehrere für 18 e bekommen haben. Wenn Du genau hinsiehst, kannst Du feststellen, dass sie jeweils auf einer Geraden liegen (rote Geraden in Abb. 4 ). Die ist auch nicht verwunderlich. Wenn zwei verschiedene Kombinationen 18 e an Kosten verursachen, gilt doch: bzw. 1 h + 2 m = 18 (6) m = 1 h + 18 (7) 2 Alle Punkte, die auf der Geraden mit dieser Gleichung liegen, stehen für Kombinationen, die Kosten in Höhe von 18 e verursachen. Punkte über der Geraden gehören zu höheren Kosten, Punkte unterhalb der Geraden zu geringeren Kosten. Vergleichen wir die beiden Kostengeraden in Abbildung 4, erkennen wir, dass sie ˆ parallel sind, und ˆ die tiefere für die geringeren Kosten steht. Weiter erkennen wir, dass die Gerade (blaue Gerade in Abb. 4 )durch den Punkt (14 1) noch geringere Kosten ( nämlich 16 e )verursacht. Bei ähnlichen Aufgaben ist es immer so, dass die Geraden mit gleichen Kosten parallel sind. Minimale (oder falls gesucht maximale) Kosten treten immer in einem Eckpunkt oder auf einer Seite des Planungsvielecks auf. 9

10 Zur Kontrolle berechnen wir noch die Kosten für die vier Eckpunkte: h/l 10 13, m/l 5 6,5 1 1 Kosten/ e 20 26, Bei anderen Aufgaben ist es nicht eine Kostenfunktion, deren Minimum sondern z.b. ein Gewinn, der zu maximieren ist. Wir sprechen deshalb i.a. von einer Zielfunktion. 10

11 2 Gemüseanbau I Ein Landwirtschaftsbetrieb besitzt 90 Ar 1 Land für den Anbau von zwei Gemüsesorten A und B. Bei der Sorte A fallen für Saatgut, Dünger usw. Kosten von 10 e pro Ar an, bei Sorte B Kosten in Höhe von 5 e pro Ar. Maximal möchte der Landwirt dafür 800 e ausgeben. Um das Gemüse anzubauen, benötigt der Betrieb für die Sorte A durchschnittlich 3 Stunden, für die Sorte B 6 Stunden, wobei der Betrieb maximal 420 Stunden aufwenden kann. Wieviel Ar von jeder Sorte sollte der Betrieb anbauen, wenn der zu erwartende Verkaufserlös für Sorte A 46 e und für Sorte B 50 e beträgt, um einen möglichst groÿen Gesamtgewinn zu machen? Beachte : Verkaufserlös Gewinn!!! 1 1 Ar ist die Fläche eines Quadrates von 10 m Kantenlänge, also von 100 m 2 ; Das Einheitenzeichen ist a 11

12 2.1 Gemüseanbau I (Lösung) Wahl der Variablen Ich bezeichne die mit Sorte A zu bebauende Fläche mit a, die zu Sorte B gehörende mit b Bedingungen (1) maximal 90 ar a + b 90 (2) Kosten beim Anbau 10a + 5b 800 (3) Arbeitsstunden 3a + 6b 420 Ich löse die Ungleichungen jeweils nach b auf, (1) a + b 90 b a + 90 (2) 10a + 5b 800 b 2a (3) 3a + 6b 420 b 1a Planungsvieleck und stelle sie in einem Diagramm (Abb. 5)graphisch dar ( farbig unterlegt sind wieder die verbotenen Bereiche): Abbildung 5: Planungsvieleck - 1.Fassung Es fällt auf, dass diesmal kein geschlossener Bereich übrig bleibt. Bei vielen Problemen, die mit dem Verfahren der linearen Optimierung gelöst werden 12

13 können, gibt es weitere unausgesprochene Randbedingungen durch den sachlichen Kontext. Hier ist es die Tatsache, dass Anbauächen nicht negativ sein können. Damit erhalten wir zwei zusätzliche Ungleichungen, die erfüllt sein müssen: (4) a 0 (5) b 0 Damit sieht das Planungsvieleck so aus (Abb. 6): Es hat die Eckpunkte P 1 = g 4 g 5 = (0 0) P 2 = g 2 g 4 = (80 0) P 3 = g 1 g 2 = (70 20) P 4 = g 1 g 3 = (40 50) P 5 = g 3 g 4 = (0 70) Zielfunktion Abbildung 6: Planungsvieleck - 2.Fassung Der Gewinn ist der Verkaufserlös, vermindert um die Kosten; also bei Sorte A 36 e, bei Sorte B 45 e. Damit erhalten wir als Zielfunktion: 13

14 z(a; b) = 36a + 45b (8) b = 36a + z 45 (9) = 4 5 a + z 45 (10) Sie gibt den Gesamtgewinn an. Dieser soll - bei Beachtung der Bedingungen maximal werden Lösung Zu jedem Gewinn-Wert gehört eine Gerade mit der Steigung 4. Ein gröÿerer 5 Abstand vom Nullpunkt bedeutet einen gröÿeren Gewinn. Die Gerade durch den Punkt P 4 = (40 50) liefert den gröÿten Gewinn 3690 e. in der nächsten Abbildung ( Abb. 7)habe ich das Planungsvieleck und einige Zielgeraden noch einmal dargestellt. Abbildung 7: Planungsvieleck und einige Zielgeraden 14

15 2.1.6 Probe Diese Probe ist natürlich so nicht vollständig. Wenn beim Umformen der Ungleichungen oder beim Zeichnen Fehler gemacht wurden, kann es sein, dass sie unentdeckt bleiben. Ich prüfe für die ermittelten Eckpunkte die Gewinnwerte. z(a; b) = 36a + 45b z 1 (0; 0) = 0 z 2 (80; 0) = 2880 z 3 (70; 20) = 3420 z 4 (40; 50) = 3690 z 5 (0; 70) =

16 3 Gemüseanbau II Ein Landwirt besitzt 90 Ar Land für den Anbau von Gemüse. Er will dies Land vollständig bebauen. Für Saatgut, Dünger usw. muss er für die Sorte A mit 10 e, für Sorte B mit 30 e je Ar rechnen. Die Kosten bei Sorte C betragen zwar 20 e je Ar, er erhält aber noch für den Anbau der Sorte C sofort 30 e je Ar als Förderung. Maximal will (kann) er im Frühjahr 2300 e ausgeben. Durch notwendige Fruchtwechsel und Lieferverträge ist er nicht frei in der Festlegung der Flächen. Von den Sorte A und C darf er maximal 40, von der Sorte B muss er mindestens 20 Ar anbauen. Für die Arbeiten beim Anbau kann er maximal 220 Arbeitsstunden einplanen. Der Ertrag ( Gewinn) je Ar beträgt voraussichtlich etwa 40 e bei Sorte A, 70 e bei Sorte B und 10 e bei Sorte C. Wie viel sollte der Landwirt von jeder Sorte anbauen, um einen maximalen Gewinn zu erwirtschaften? noch eine Anmerkung: Dich irritiert wahrscheinlich, dass es nicht nur zwei, sondern drei Gröÿen sind. Berücksichtige aber bitte, dass er die 90 a vollständig bebauen will; diese Fläche darf nicht unter-/überschritten werden. Mit dieser Information, kann man eine der drei Gröÿen A,B,C eliminieren. Hausaufgabe zum bis Sonntag Abend per Mail an friedrich@hattendoerfer.de 16

17 3.1 Gemüseanbau II (Lösungen) Bedingungen Aus dem Text der Aufgabe folgen die Bedingungen: a + b + c = 90 (11) a 40 (12) b 20 (13) c 40 (14) 10a + 30b 10c 700 (15) (16) Der Gewinn ( d.h. Ertrag abzüglich der Kosten) beträgt je Ar bei der Sorte A 30 e, bei der Sorte B 40 e und bei C 20 e. (Beachte, dass die Kosten bei Sorte C - durch den Zuschuss - negativ sind.) Damit erhalten wir die Zielfunktion: Nebenbedingung G(a, b, c) = 30a + 40b + 20c (17) Dieses Problem unterscheidet sich von den vorhergehenden dadurch, dass drei, nicht nur zwei Variablen vorhanden sind. Allerdings sind diese drei Variablen nicht nur durch Ungleichungen sondern auch durch eine Gleichung verknüpft. Da er alles Land bebauen will, gilt die Gleichung: a + b + c = 90 c = 90 a b (18) Diese Beziehung können wir nutzen, um die Anzahl der Variablen zu reduzieren; wir können c eliminieren Planungsvieleck Wir setzen c in die anderen Bedingungen ein: 17

18 a 40 a 40 (19) b 20 b 20 (20) c a b 40 (21) 10a + 30b 10c a + 30b 10 (90 a b) 2300 (22) 20a + 40b 3200 (23) a + 2b 160 (24) Ein Aspekt fehlt noch: Wir sind bisher - unausgesprochen!!! - davon ausgegangen, dass alle Variablen nur positive Werte annehmen. Dies ist auch hier sinnvoll, da negative Flächen keinen Sinn geben. Allerdings darf auch die eliminierte Variable c nicht negativ werden. So erfüllt z.b. das Wertepaar (a b) = (35 60) alle obigen Bedingungen, allerdings wäre dann c = -5. Deshalb erhalten wir noch die weiteren Bedingungen: (25) a 0 (26) b 0 (27) c 0 a + b 90 (28) Die Bedingung b 0 kann entfallen, da sie durch die schärferebedingung b 20 überüssig wird. Wir erhalten damit nach dem Zusammenfassen folgende relevante Bedingung en: YBox a 0 (29) a 40 a 40 (30) b 20 b 20 (31) a + b 50 b a + 50 (32) a + 2b 80 b 1 a (33) a + b 90 b a + 90 (34) Nun können wir das Planungsvieleck konstruieren (Abb. 8): Nur Punkte im oder auf den Rand des blau unterlegten Planungsvieleck es in der Abbildung 8 erfüllen alle Bedingungen der Aufgabe. In der nächsten Abbildung ist dies Planungsvieleck deutlicher erkennbar. 18

19 3.1.4 Zielfunktion Abbildung 8: Bestimmung des Planungsvieleckes Durch Probieren stellen wir z.b. fest, dass die Wertepaare (a b) = (20 60) ;[ (40 50) ; (0 70) ;(10 65)] alle zum gleichen Gewinn 3200 e führen. Dies ist nicht verwunderlich, denn für die Gewinnfunktion G(a,b) folgt nach dem Ersetzen von c durch 90 a b: G(a, b) = 30a + 40b + 20c = 30a + 40b + 20(90 a b) (35) = a + 20b (36) Setzen wir nun G(a,b) = 3200 folgt 3200 = a + 20b = = a + 20b = 1600 (37) Alle Punkte, denen dieser Gewinn zugeordnet ist, liegen auf der Geraden b = 1 a + 80 (38) 2 19

20 Abbildung 9: Planungsvieleck mit Gewinngeraden Für die oben genannten Punkte gilt dies. Eine Umformung von Gleichung (36) ergibt: G(a, b) = a + 20b (39) = 1 g(a, b) 1800 a (40) D.h, Punkte, die auf einer Geraden mit der Steigung 1 a führen zum gleichen Gewinn. Ein gröÿerer Achsenabschnitt bedeutet dabei einen gröÿeren 2 Gewinn. Wir zeichnen die parallelen Geraden durch die Eckpunkte des Planungsvielecks und sehen, dass alle Punkte auf dem Streckenstück von (0 80) bis (20 70) einen maximalen Gewinn versprechen Z.B. erhalten wir für (a = 0 b = 80) den Gewinn 3400 e; für (a = 20 b = 70) und für (a = 10 b = 75) ebenfalls 3400 e. Diese Punkte entsprechen den Anbauächen für die Sorten (A B C ) von (0a 80a 10a); (20a 70a 0a); (10a 75a 5a); 20

21 3.1.5 Ergebnis Die Flächen, die maximalen Gewinn erwarten lassen, werden also durch das Streckenstück von (a b)= (0 80) bis (a b)= (20 70) repräsentiert, genauer - wir dürfen c nicht vergessen - durch (a b c)= ( ) bis (a b c)= ( ). zur Kontrolle stellen wir noch die Werte für einige Kombinationen zusammen. Flächen Bedingungen a b c (1) (2) (3) (4) (5) (14) Kosten Ertrag Gewinn X X X Man sieht, dass er sogar einen Gewinn von 3600 e erwirtschaften könnte, wenn er nur die Sorte B anpanzt. Dies ist aber nicht möglich, das er dann zu hohe Anbau-Kosten hätte. 21

22 4 Aufgabe: Saftpanscher II Die Zwillinge Franz und Franziska möchten ein Jahr später für Ihre Geburtstagsfeier wieder ein Mixgetränk kreieren. Sie möchten die von Ihrem Urgroÿvater geerbte Milchkanne ( Fassungsvermögen 20 l) diesmal bis zum Rand füllen. Als mögliche Zutaten stehen zur Verfügung: ˆ Himbeersaft, der Liter zu 1,00 e ˆ Prsichsaft, der Liter zu 0,50 e ˆ Mango-Konzentrat, der Liter zu 2,00 e Wegen des Geschmacks sollte mehr Prsichsaft als Himbeersaft vorhanden sein. Allerdings wissen die beiden, dass der Prsichgeschmack zu sehr dominiert, wenn mehr als doppelt so viel Prsich- wie Himbeersaft im Gemisch ist. Auch das Mango-Konzentrat schmeckt sehr stark durch; sein Anteil sollte nicht über 25 % liegen. Ihr Freund Gonzales hat von seiner letzten Fete noch 8 Liter Prsich- und einen Liter Mango-Konzentrat. Sie haben ihm versprochen ihm dies abzukaufen. Wie viel sollten sie von den drei Säften verwenden, um möglichst günstig zu feiern? 1. Stelle zu den Informationen des Textes die zugehörigen Gleichungen und Ungleichungen auf! (benutze p,h,m als Bezeichner für die Variablen) 2. Ersetze in den Gleichungen eine Variable, so dass du nur noch zwei hast. (beachte die Bedingung mit der Kanne!) Forme die übrigen Gleichungen um. 3. Zeichne das Planungsgebiet 4. Wähle einen Punkt im Innern des Planungsgebietes! Berechne die zugehörigen Kosten! Bestimme alle anderen Punkte, die die gleichen Kosten verursachen! 5. Suche nun den Punkt mit den geringsten Kosten! 22

23 Bemerkung: Im folgenden ndest du drei Lösungen. Nur den ersten Ansatz habe ich wirklich selbst gerechnet; bei den anderen habe ich im wesentlichen den Text kopiert und umgeschrieben. Die Wahrscheinlichkeit, dass dort noch Fehler sind, ist relativ hoch Die Absicht, dass die Kanne ganz gefüllt werden soll, führt auf die Bedingung: Volumen(Himbeersaft) + Volumen(Prsichsaft) + Volumen(Mango-Konzentrat) = 20 l (41) Ansatz, Elimination von m Randbedingungen Ich bezeichne die Mengen mit h,p,m entsprechend dem Anfangsbuchstaben der Frucht Es ist m = 20 h p h + p + m = 20 (42) m eliminiert Bedingung als Gleichung nach p aufgelöst x genau 20 Liter h + p + m = 20 m = 20 h p x mehr Prsich als Himbeere x weniger als doppelt Prsich wie Himbeere p h p 2 h p h p 2 h x max 25% Mango m 5 p 15 h x mind. 8 Liter Prsich p 8 p 8 x mind. 1 Liter Mango m 1 p 19 h 23

24 Abbildung 10: Planungsvieleck und Kostengerade Kosten Die Kosten errechnen sich zu: K = 1, 00 h + 0, 5 p + 2, 00 m (43) = h p + 2(20 h m) = h 3 p + 40 (44) Planungsvieleck siehe Abb.(10) Kostengerade Zielfunktion Ich wähle den Punkt P(7 10), d. h. 7 Liter Himbeersaft und 10 Liter Prsichsaft 24

25 Die Kosten betragen: K = h 3 p (45) = = 18 (46) (Kontrolle: wir brauchen 3 Liter Mango-Konzentrat: K = 1, 00 h + 0, 5 p + 2, 00 m (47) = = 18 (48) ) Für alle anderen Punkte, die Kosten in Höhe von 18 e bedingen gilt: 18 = h 3 p + 40 (49) 2 3 p = h (50) 2 p = 2 3 h (51) 3 = 2 3 h (52) Der Punkt P und die zugehörige Kostengerade sind in Abb.(10) eingezeichnet Kosten-Minimum Die Geraden zu anderen Kosten sind zu dieser parallel. Gesucht wird diejenige Gerade mit der Steigung 3 2, die das Planungsgebiet gerade noch schneidet, aber zu den geringsten Kosten gehört. wir wählen die Gerade durch den Punkt M 1 (7 8) mit den Kosten 25

26 K = h 3 p (53) = = 21 (54) und stellen fest, dass dies teurer wird als im Punkt P. Also liegt das Minimum der Kosten im Schnittpunkt der Geraden zu p = 2h und p = h + 19, also in M 2 ( M 2 (6, 33 12, 67) Hier betragen die Kosten K = h 3 p (55) = = , 67 (56) noch eine Kontrolle Für die anderen Eckpunkte ergibt sich: h p m Kosten ,5 9,5 1 16,25 6,33 12, ,

27 Ansatz, Elimination von h Randbedingungen Ich bezeichne die Mengen mit h,p,m entsprechend dem Anfangsbuchstaben der Frucht h eliminiert Bedingung als Gleichung nach p aufgelöst x genau 20 Liter h + p + m = 20 h = 20 p m x mehr Prsich als Himbeere x weniger als doppelt Prsich wie Himbeere p h p 10 m 2 p 2 h p 2 3 m x max 25% Mango m 5 m 5 x mind. 8 Liter Prsich p 8 p 8 x mind. 1 Liter Mango m 1 m 1 Kosten Die Kosten errechnen sich zu: K = 1, 00 h + 0, 5 p + 2, 00 m (57) = 20 m p + p 2 + 2m = m p (58) Planungsvieleck siehe Abb.(11) Kostengerade Zielfunktion Ich wähle den Punkt P(3 10), d. h. 3 Liter Mangosaft und 10 Liter Prsichsaft Die Kosten betragen: 27

28 Abbildung 11: Planungsvieleck und Kostengerade K = 20 + m p 2 (59) = = 18 (60) (Kontrolle: wir brauchen 7 Liter Himbeersaft: K = 1 h p + 2 m (61) = = 18 (62) ) Für alle anderen Punkte, die Kosten in Höhe von 18 e bedingen gilt: 28

29 18 = 20 + m 1 2 p (63) p = 2m + 4 (64) Der Punkt P und die zugehörige Kostengerade sind eingezeichnet Kosten-Minimum Die Geraden zu anderen Kosten sind zu dieser parallel. Gesucht wird diejenige Gerade mit der Steigung 2, die das Planungsgebiet gerade noch schneidet, aber zu den geringsten Kosten gehört. wir wählen die Gerade durch den Punkt M 1 (5 8) mit den Kosten K = 20 + m 1 2 p (65) = = 26 (66) und stellen fest, dass dies teurer wird als im Punkt P. Also liegt das Minimum der Kosten im Schnittpunkt der Geraden zu m = 1 und p = , also in M 2( Hier betragen die Kosten K = 20 + m 1 10 p = = 44 3 noch eine Kontrolle Für die anderen Eckpunkte ergibt sich: h p m Kosten ,5 9,5 1 16,25 6,33 12, , , 66 (67) 29

30 Abbildung 12: Planungsvieleck und Kostengerade Ansatz, Elimination von p 4.3.1, 1.2 Randbedingungen Ich bezeichne die Mengen mit h,p,m entsprechend dem Anfangsbuchstaben der Frucht p eliminiert Bedingung als Gleichung nach h aufgelöst x genau 20 Liter h + p + m = 20 p = 20 m h x mehr Prsich als Himbeere x weniger als doppelt Prsich wie Himbeere p h h 10 m 2 p 2 h h 1 3 m x max 25% Mango m 5 m 5 x mind. 8 Liter Prsich p 8 h m + 12 x mind. 1 Liter Mango m 1 m 1 Kosten Die Kosten errechnen sich zu: K = 1, 00 h + 0, 5 p + 2, 00 m (68) = h (20 m h) + 2m = m h (69) Planungsvieleck siehe Abb.(12) Kostengerade Zielfunktion 30

31 Ich wähle den Punkt P(7 10), d. h. 7 Liter Himbeersaft und 10 Liter Prsichsaft Die Kosten betragen: K = m h (70) = = 18 (71) 2 (Kontrolle: wir brauchen 3 Liter Mango-Konzentrat: K = 1, 00 h + 0, 5 p + 2, 00 m (72) = = 18 (73) ) Für alle anderen Punkte, die Kosten in Höhe von 18 e bedingen gilt: 18 = m h (74) 16 = 3m + h (75) h = 16 3m (76) Der Punkt P und die zugehörige Kostengerade sind eingezeichnet Kosten-Minimum Die Geraden zu anderen Kosten sind zu dieser parallel. Gesucht wird diejenige Gerade mit der Steigung 3, die das Planungsgebiet gerade noch schneidet, aber zu den geringsten Kosten gehört. wir wählen die Gerade durch den Punkt M 1 (5 5) mit den Kosten K = m h (77) = , 5 + 2, 5 = 20 (78) 31

32 und stellen fest, dass dies teurer wird als im Punkt P. Also liegt das Minimum der Kosten im Schnittpunkt der Geraden zu m = 1 und h = 1 3 m , also in M 2( M 2 (1 6, 33) Hier betragen die Kosten K = m h (79) = = = , 66 (80) noch eine Kontrolle Für die anderen Eckpunkte ergibt sich: h p m Kosten ,5 9,5 1 16,25 6,33 12, , Ergebnis Auällig ist, dass wir bei allen drei Varianten immer die gleichen Mengentripel (h,p,m) für die Eckpunkte des (Zweidimensionalen) Planungsvieleckes erhalten. Es ist also egal, welche Variable wir eliminieren. 32

33 5 Vitamine 5.1 Aufgabe Im Monat benötigt ein Mensch mindestens 600 mg Vitamin B und 300 mg Vitamin H. Um diesen Bedarf für die 30 Mitarbeiter einer Forschungsstation in der Antarktis zu decken, kann der leitende Arzt zwei verschiedene Präparate einsetzen. In einer Tablette VitaVita sind 30 mg Vitamin B und 10 mg Vitamin H enthalten. In einer Tablette Bellavit sind 10 mg Vitamin B und 20 mg Vitamin H enthalten. Die Packung VitaVita mit 100 Tabletten kostet 12 e, die Packung Bellavit mit 200 Tabletten 16 e Der Einsatz auf der Forschungssstation dauert fünf Monate. Wie viele Packungen der beiden Medikamente muss der Arzt bestellen, um den Bedarf zu möglichst geringen Kosten abzudecken? 33

34 5.2 Lösungsskizze-Version 1 Ich betrachte zuerst den Bedarf eines Mitarbeiters für einen Monat. Damit erhalte ich die Ungleichungen v 0 v 0 (81) b 0 b 0 (82) 30v + 10b 600 b 3v + 60 (83) 10v + 20b 300 b 1 v (84) (85) Das Planungs-Gebiet hat hier ein anderes Aussehen, als bisher. Zulässig ist der Bereich oben rechts. )Die Randbedingungen schlieÿen nämlich nicht aus, dass der Arzt viel zu viel bestellt. Dann werden die Kosten aber nicht minimal sein.) Abbildung 13: Planungs-Vieleck mit Geraden zur Zielfunktion 34

35 Die einzelne Tablette kostest bei VitaVita 0,12 e, bei Bellavit 0,08 e, bzw. 12 Cent und 8 Cent. Die Zielfunktion (Kosten der Präparate) lautet also: K (v b) = 12v + 8b (86) b = 3 2 v + K 8 (87) Gesucht wird das Minimum von K (v b). Das Planungs-Gebiet hat die drei Eckpunkte P 1 (0 60);P 2 (18 6); P 2 (30 0); Ihnen sind die Kosten K 1 = 480; K 2 = 264; K 3 = 360 zugeordnet (jeweils Cent pro Person und Monat); mit der Kombination P 2 (18 6), also 18 Tabletten VitaVita und 6 Tabletten je Person und Monat Bellavit erfüllt der Arzt die Bedingungen zu minimalen Kosten. Damit könnte er bei 150 Personen-Monaten (5 Monate; 30 Personen) 2700 Tabletten (27 Packungen) VitaVita zu 324 e und 900 Tabletten (4 1 2 Packungen) Bellavit zu 72 e bestellen (Gesamtkosten 396 e). Da er aber ganze Packungen bestellen muss, hat er ein Problem. Welche Anzahl Tabletten der beiden Sorten passt zu den (vom ihm nicht veränderbaren) Packungsgröÿen? 5.3 Lösungsskizze-Version 2 Ich probiere eine Lösung, die gleich vom Wirkstogehalt der Packungen und der Gesamtmenge an benötigtem Wirksto ausgeht. Die Station wird von 30 Leuten fünf Monate besetzt. In dieser Zeit benötigt der Arzt insgesamt mg = mg = 90 g Vitamin B und mg = mg = 45 g Vitamin H. Eine Packung VitaVita (100 Tabletten) enthält mg = 3000 mg = 3 g Vitamin B und 1000 mg = 1 g Vitamin H Eine Packung Bellavit (200 Tabletten) enthält mg = 2000 mg = 2 g Vitamin B und 4000 mg = 4 g Vitamin H Damit erhalte ich die Ungleichungen und das Planungsvieleck: v 0 v 0 (88) b 0 b 0 (89) 3v + 2b 90 b 3 v + 90 (90) 2 1v + 4b 45 b 1 4 v + 45 (91) 4 (92) 35

36 5.4 Zielgerade Abbildung 14: Planungsvieleck (2. Ansatz) Zielfunktion 30 Packungen VitaVita und 10 Packungen Bellavit kosten 12 e e 10 = 520 e. Alle weiteren Kombinationen, die 520 e kosten, liegen auf der Geraden zu: p(v, b) = 12v + 16b = 520 (93) b = , 5 (94) 4 Probe: p(34,7) = p(38,4) = p(41,1) = p(26,13) = p(22,16) =...= p(0,32,5) p(43,33,0) Wir wissen inzwischen, dass alle Zielgeraden parallel zueinander sind. Wir müssen also eine suchen, die möglichst weit rechts unten liegt, da zu ihr die niedrigsten Kosten gehören. Die Zielgerade wird also in der Nähe des Schnittpunktes der roten und der grünen geraden verlaufen. Ob dieser Schnittpunkt ganzzahlige Koordinaten hat (wir vermuten (27/4,5); also nicht) kann man in dieser Zeichnung nicht erkennen. Ich zeichne das Planungsgebiet noch einmal - aber nur - dafür vergröÿert - den Bereich (20 < v < 32; 0 < b < 10): 36

37 Abbildung 15: Planungsvieleck (2. Ansatz, vergröÿert) und erkennen, dass der Punkt P(27 5) der Punkt im Planungsgebiet mit ganzzahligen Koordinaten ist, dem die geringsten Kosten - p(27,5) = 404 e zuzuordnen sind. 5.5 Kritik Diese Lösung lässt m.e. einige Fragen oen (es gibt sicher noch mehr): ˆ Wie will der Arzt die Verteilung an die Forscher durchführen? ˆ Die Forscher sind erwachsene Menschen, i.d.r. nicht psychisch oder sonstwie krank; sie müssten eigenverantwortlich handeln können. ˆ Wenn jemand die Tabletten an einem Tag vergisst, ist dies nicht gleich lebensbedrohlich. ˆ wie der Arzt die gleichmässige Verteilung mit den beiden unterschiedlich dosierten Präparaten erreichen will, wurde nicht untersucht. ˆ er sollte versuchen, Präparate zu nden, die jeweils eine Tagesdosis für jeweils eine Person enthalten. Die evtl. höheren Kosten düften im Verhältnis zu den Gesamtkosten der Expedition unerheblich sein. 37

38 ˆ das bisherige Verfahren (Ablesen an Graphen) stöÿt an seine Grenzen; ein stärker auf Rechnungen basierten Verfahren ist wünschenswert. 38

39 6 Das Verfahren der linearen Optimierung Fassen wir zusammen: Wir gehen nach dem folgenden Schema vor: ˆ Festlegung der Variablenbezeichner sinnvolle Bezeichner wählen es gibt nicht nur x und y oft ist es besser die Anfangsbuchstaben der Gröÿen zu wählen ˆ Aufstellen der Ungleichungen zu den Randbedingung en Text genau lesen Zuerst eng am Text formulieren (Beispiel (von oben) (30v +10b 600) dann für die Zeichnung umstellen (b 3v + 20) oft sind - unausgesprochen - negative Werte nicht möglich ˆ Zeichnen des Planungsgebiet es bei jeder Geraden genau überlegen, welche Halb-Ebene zulässig ist, und welche nicht das ermittelte Planungs-Gebiet farbig markieren ˆ Ermitteln der Zielfunktion und des Ergebnisses auch hier den Text genau lesen für einen Punkt des Planungsgebietes den Wert der Zielfunktion bestimmen für diesen die zugehörige Zielgerade zeichnen prüfen, ob der Wert der Zielfunktion minimiert oder maximiert werden soll Parallel-Verschiebung der Zielgeraden bis zum äuÿersten Rand des Planungsgebietes, so dass aber noch mindestens ein Punkt des Planungsgebietes auf der Zielgeraden liegt. ˆ Formulierung des Ergebnisses 39

40 7 Einschub: Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Bei den obigen Beispielen war es i.a. möglich, die Schnittpunkte auszukucken. Dies liegt an den benutzten Parametern. Bei krummenzahlen ist es sicher besser, sie zu berechnen - und wenn wir wieder mit OOCalc arbeiten wollen, sowieso. Dafür ist es auch notwendig, eine allgemeine Lösung des Problems zu suchen. 7.1 LGS Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen hat i.a. die Form: a 11 x + a 12 y = b 1 (95) a 21 x + a 22 y = b 2 (96) Es besitzt genau dann ein eindeutiges Lösungspaar (x s y s ), wenn sich die zugehörigen Geraden schneiden. Als Beispiel wählen wir die zu den beiden letzten Ungleichungen der Gemüsebauer- Aufgabe (33),(34) gehörenden Gleichungen: b = a a + 1 b = 90 (97) b = 1 a a + 2 b = 160 (98) 2 Mit dem Subtraktionsverfahren (1. Gleichung von der zweiten subtrahieren) erhält man sofort b = 70, und durch Einsetzen von b in der erste Gleichung dann a = 20. Uns geht es hier aber mehr darum, ein Lösungsverfahren zu entwickeln, das auch dann Ergebnisse liefert, wenn die Koezienten nicht so schön sind. 7.2 Graphische Darstellung Zuerst werden wir das System graphisch darstellen. Hierfür eignet sich die links stehende Form der Gleichungen (95, 96) eher, als die rechte, da sie das Erstellen einer Wertetabelle erleichtert. 40

41 Falls es in der Form wie in den Gleichungen (95, 96) gegeben ist. müssen wir zuerst umformen: y = b 1 a 11 x b 12 = a 11 b 12 x + b 1 b 12 (99) y = b 2 a 21 x b 22 = a 21 b 22 x + b 2 b 22 (100) Wie gehen vor wie immer: Die Koezienten der Gleichungen kommen in eigene (hier gelb unterlegte) Felder, können also für neue Aufgaben schnell verändert werden. In das Feld A7 trage ich die Schrittweite für die Wertetabelle ein. Hier muss evtl. etwas probiert werden. Bei den y-achsenabschnitten 90 bzw. 80 kann es sein, dass der x-wert der Lösung auch eine relativ groÿe Zahl ist. Die Graphen zu den Gleichungen sind aber immer Geraden. Im Beispiel arbeite ich mit einer Schrittweite von 5, d.h. in der Wertetabelle erscheinen die x- Werte 0,5,10,... Die eigentliche Wertetabelle beginnt ab Zeile 9 mit den Spaltenköpfen x,y a und y b. Exemplarisch sei noch die Formel für das Feld B10 genannt: =$C$4*$A10+$E$4. Die Werte werden dann in einem Diagramm dargestellt: Die Lösung (20 70) ist gut erkennbar. Wäre sie dies nicht, würde ich mit einer vergröÿertendarstellung arbeiten: In das Feld A10 trage ich den Startwert 19 ein und ändere die Schrittweite auf 0,1. 41

42 7.3 Rechnerische Lösung Existenz einer Lösung Wir hatten schon erwähnt, dass das Gleichungssystem genau dann ein Lösungspaar (x s y s ) besitzt, wenn sich die zugehörigen Geraden schneiden. Dies ist genau dann der Fall, wenn die zugehörigen Geraden die verschiedene Steigungen haben, wenn also a 11 a 21 ist ( vgl. Gleichungen (97, 98). Dazu a 12 a 22 gleichwertig ist a 11 a 22 a 12 a 21 bzw. a 11 a 22 a 12 a 21 0 (mach dir klar, dass dies auch den Fall abdeckt, dass die Geraden identisch sind, es also unendlich viele Lösungen gibt.) Für die folgenden Überlegungen sei diese Bedingung erfüllt Bestimmung der Lösung Wir werden im wesentlichen das Additions/Subtraktionsverfahren benutzen. a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 a 11 a 21 x + a 12 a 21 y = b 1 a 21 A a 21 a 21 a 11 x + a 22 a 11 y = b 2 a 11 B a 11 a 11 a 21 x + a 12 a 21 y = b 1 a 21 A (a 12 a 21 a 22 a 11 ) y = b 1 a 21 b 2 a 11 A B Aus der letzten Zeile folgt: bzw (nach Erweitern mit (-1)): y = b 1 a 21 b 2 a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 y = a 11 b 2 a 21 b 1 a 11 a 22 a 12 a 21 (101) Wir könnten jetzt das Ergebnis für y in die Gleichung A einsetzen und sie nach x auösen. Vier einfacher ist es aber, wieder mit den ursprünglichen Gleichungen zu beginnen, aber jetzt die erste Gleichung mit a 22 und die zweite mit a 12 zu multiplizieren. Wenn wir sie dann voneinader subtrahiern, fällt der Term mit y weg. a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 a 11 a 22 x + a 12 a 22 y = b 1 a 22 A a 22 a 21 a 12 x + a 22 a 12 y = b 2 a 12 B a 12 a 11 a 22 x + a 12 a 22 y = b 1 a 22 A (a 11 a 22 a 21 a 12 ) x = b 1 a 22 b 2 a 12 B a 12 42

43 Damit erhalten wir : x = b 1 a 22 b 2 a 12 a 11 a 22 a 21 a 12 y = a 11 b 2 a 21 b 1 a 11 a 22 a 12 a 21 (102) Determinanten Man kann sich das Ergebnis einfacher merken, indem man die sogenannten Determinanten benutzt: deta = a b c d = ad bc (103) (Produkt der Elemente in der Hauptdiagonalen minus Produkt der Elemente in der Nebendiagonalen ) Dann schreibt sich unsere Lösung so: b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 x = a 11 a 12 y = a 21 a 22 a 11 a 12 (104) a 21 a 22 Oder in Worten: Der Nenner ist die Determinante aus den Kooezienten der linken Seite, beim Zähler wird die betreende Spalte durch die Koezienten der rechten Seite ersetzt Beispiel Beispiel: (Schnittpunkt der zu den beiden letzten Gleichungen (97),(98) gehörenden Geraden): b = a a + 1 b = 90 (A) b = 1 a b = 160 (B) 2 43

44 x = y = = = = = = 20 1 = 70 1 = 20 (105) = 70 (106) (107) Berechnet wurde - wie schon aus der Zeichnung bekannt- der Schnittpunkt (20 70). 7.4 Zusammenfassung (Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen) Das lineare Gleichungssystem besitzt genau dann eine eindeutige Lösung, wenn a 11 x + a 12 y = b 1 (108) a 21 x + a 22 y = b 2 (109) a 11 a 22 a 12 a 21 0 (110) ist. Die Lösung ist dann: b 1 a 12 b 2 a 22 x = a 11 a 12 a 21 a 22 Mit den Determinanten deta = a c a 11 b 1 a 21 b 2 y = a 11 a 12 (111) a 21 a 22 b d = ad bc (112) 44

45 8 Erzmischung Aufgabe Quelle der Aufgabe : Karl Schick: Lineares Optimieren, Frankfurt 1972 (abgewandelt) In einem Hüttenwerk sollen die Erzsorten E 1 und E 2 mit den Bestandteilen B 1, B 2 und B 3 gemischt werden, so dass die Mischung möglichst preisgünstig wird und bestimmten Anforderungen genügt: ˆ Sie muÿ vom Bestandteil B 1 mindestens 0,6 t, ˆ Sie muÿ vom Bestandteil B 2 mindestens 1,3 t, ˆ Sie muÿ vom Bestandteil B 3 mindestens 2,1 t enthalten In der Tabelle ist angegeben, wie viele Tonnen von jedem Bestandteil in einer Tonne Erz sind: Erz B 1 B 2 B 3 E 1 0,42 0,22 0,36 E 2 0,0 0,19 0,17 Eine Tonne des Erzes E 1 kostet 40,79 e, eine Tonne von E 2 kostet 28,87 e. Welche Mengen müssen von den beiden Erzsorten genommen werden, damit die Gesamtkosten möglichst gering sind? 45

46 8.2 Tabelle Wir fassen die Angaben der Aufgabe in einer Tabelle zusammen: Bestandteil Menge der Bestandteile Mindestbedarf je t in für Mischung E 1 E 2 B 1 0,42 0,0 0,35 B 2 0,22 0,19 0,86 B 3 0,36 0,17 0,98 Kosten je t 40,70 e 28,87 e Min. 8.3 Bedingungen/ Planungsvieleck Ich bezeichne im folgenden die Menge ( in Tonnen) von Erzsorte E 1 mit m 1, die von E 2 mit m 2 : Da die Anzahl der Tonnen nicht negativ werden kann, gilt: m 1 0 (113) m 2 0 (114) (115) Die Mischung muss vom Bestandteil B 1 mindestens 0,35 t enthalten. Da in einer Tonne des Erzes E 1 0,15 t, in einer Tonne des Erzes E 2 0,0 t des Bestandteils B 1 enthalten sind, gilt: 0, 42m 1 + 0, 0m 2 0, 35 (116) 0, 42m 1 0, 35 (117) m 1 0, 833 (118) Entsprechend erhalten wir für B 2 und B 3 : 0, 22m 1 + 0, 19m 2 0, 86 (119) 0, 36m 1 + 0, 17m 2 0, 98 (120) Es erscheint für das Diagramm sinnvoll, die letzten beiden Gleichungen nach m 2 aufzulösen. 46

47 0, 22m 1 + 0, 19m 2 0, 86 m 2 1, 16m 1 + 3, 91 (121) 0, 36m 1 + 0, 17m 2 0, 98 m 2 2, 12m 1 + 5, 76 (122) Damit haben wir dann die Bedingungen: m 1 0 (123) m 2 0 (124) m 1 0, 833 (125) m 2 1, 16m 1 + 3, 91 (126) m 2 2, 12m 1 + 5, 76 (127) Zum Zeichen des Planungsgebietes ist die obige Darstellung der Geradengleichungen aber ziemlich ungeeignet. Gechickter ist es, die Achsenabschnitte zu berechnen. Ich gehe von den Gleichungen (119) und(119) aus und setze jeweils m 1 bzw m 2 Null. 0, 22m 1 + 0, 19m 2 0, 86 (128) 0, 86 m 2 = 0 m 1 = = 3, 90 0, 22 (129) 0, 86 m 1 = 0 m 2 = = 4, 53; 0, 19 (130) 0, 36m 1 + 0, 17m 2 0, 98 (131) 0, 98 m 2 = 0 m 1 = = 2, 72 0, 36 (132) m 1 = 0 m 2 = 0.98 = 5, 76; 0, 17 (133) (134) Von von den obigen fünf Bedingungen ist die erste (123) obsolet, da sie durch die dritte(125) mit abgedeckt wird. Sie wurde im Diagramm ( Abb. 8.3) nicht berücksichtigt. Die anderen vier denieren das Planungsgebiet. 8.4 Zielfunktion Die Preise für das Erz sind 40,70 e für eine Tonne vom Erz E 1 und 28,87 e für eine Tonne vom Erz E 2. Damit betragen die Kosten für die Mischung: 47

48 Diese sollen minimiert werden. K (m 1 m 2 ) = 40, 70m , 87m 2 (135) 8.5 Minimum Wir wissen schon, dass das Minimum nur in einem Eckpunkt des Planungsgebietes (oder auf einer Kante desselben, wenn zwei Eckpunkte die gleichen Kosten verursachen) liegen kann. Allerdings ist hier die Bestimmung der Eckpunkte etwas aufwendiger. Wir bestimmen deshalb doch zuerst die Zielgerade für einen Punkt im Innern des Planungsvieleckes, z.b. für (3 3): K (3 3) = 40, , 87 3 = 208, 62 (136) 208, 62 = 40, 70m , 87m 2 (137) m2 = 1, 41m 1 + 7, 23 (138) Wenn wir die Zielgerade und die Parallelen dazu einzeichnen erkennen wir, dass das Minimum der Kosten dem Schnittpunkt der beiden Geraden zu (119) und(119) zuzuordnen ist. Wir werden also nur diesen Eckpunkt des Planungsvielecks berechnen. Dazu benutzen wir die Determinanten. 48

49 0, 22m 1 + 0, 19m 2 0, 86 (139) 0, 36m 1 + 0, 17m 2 0, 98 (140) 0, 86 0, 19 0, 98 0, 17 m 1 = 0, 22 0, 19 (141) 0, 36 0, 17 0, 86 0, 17 0, 19 0, 98 0, 040 = = = 1, 29 (142) 0, 22 0, 17 0, 19 0, 36 0, 031 0, 22 0, 86 0, 39 0, 98 m 2 = 0, 22 0, 19 (143) 0, 36 0, 17 0, 22 0, 98 0, 36 0, 86 = 0, 22 0, 17 0, 19 0, 36 = = 3, 03 (144) 0, 031 (145) Die Kosten betragen dann: 49

50 K (1, 29 3, 03) = 40, 70 1, , 87 3, 03 = 139, 98 (146) (147) Man sollte also 1,29 Tonnen der Erzsorte E 1 mit 3,03 Tonne der Sorte E 2 mischen. Die kosten betragen dann 139,98 e 50

51 9 Designer (mit Geogebra) Die kleine Designerrma Cruft stellt für die groÿe Werbema SpamSpam kleine Objekte her. Zur Zeit betreut SpamSpam eine Preisauschreiben-Aktion eines Kunden, bei der es jeden Tag genau 100 Preise zu gewinnen gibt. Diese Preise sind die von Cruft hergestellten Objekte aleph, beth und gimel Um eine gewisse Vielfältigkeit bei den Preisen zu haben, besteht SpamSpam darauf, täglich jeweils mindestens 10, maximal 50 Stück der drei Objekte geliefert zu bekommen. Den Verschnitt, der bei der Produktion des Objektes beth entsteht, kann Cruft weitgehend bei der Produktion von aleph benutzen. Deshalb sollte die Zahl der Objekte des Typs beth mindestens das doppelte der Anzahl vom Typ aleph sein. Aus ähnlichen Gründen sollten von gimel weniger als das dreifache von aleph hergestellt werden. Für die Herstellung eines Objektes von Typ aleph werden zwei, für beth drei und für gimel eine Abbeitsstunde veranschlagt. Maximal können für dieses Projekt 200 Stunden wöchentlich angesetzt werden; falls es weniger sind, können Mitarbeiter aber auch für andere Projekte arbeiten. Der Reingewinn betragt bei den Objekten aleph 20 e, bei beth 8 e, bei gimel 12 e je Stück Bestimme bei welchen Stückzahlen es einen maximalen Gewinn ergibt. 51

52 9.1 Hinweise Untersuche, welche Bedingungen aus dem Text folgen! Stelle die zugehörigen Gleichgungen und Ungleichungen auf! Elimiere eine der Unbekannten! Formuliere die Gleichgungen und Ungleichungen ohne diese Unbekannte! Zeichne das Planungvieleck! Bestimme den Gewinn für einen Eckpunkt des Planungsvieleckes und zeichne die Gerade mit allen Punkten die zum selben Gewinn gehören! Bestimme den maximalen Gewinn! Formuliere das Ergebnis! 52

53 9.2 Einschub: Geogebra GeoGebra ist eine dynamische Mathematiksoftware. Sie verbindet Geometrie, Algebra und Analysis. Sie wurde für den Einsatz im Schulunterricht entwickelt. Weitere Informationen - auch Links zum Download - ndest Du auf der Homepage: Ich gehe im folgenden davon aus, dass Du GeoGebra bereits installiert und gestartet hast Fenster-Einstellungen Klicke in der Menüzeile auf Ansicht. Im Rollbalkenmenü sollten drei Häkchen gesetzt sein: bei Algebra,Graik und Eingabezeile. Gib in das Algebra-Fenster ein: y < 1/2x 2. dann solltest du (etwa) folgendes Bild ( 16) erhalten; Abbildung 16: GeoGebra-Fenster Gib in noch eine zweite Ungleichung ein: y > x + 5. Blau schraert ist nur noch die linke obere Ecke (vielleicht sogar nichts). Das Grak-Fenster lässt sich mit gedrückter linker Maustaste verschieben. Dabei wird der Maus-Zeiger zu einer geballten Hand. Wenn Du mit der rechten Maustaste auf eine freie Stelle klickst, erscheint ein Menue. Hier kannst Du weitere Einstellungen vornehmen, insbesondere beim untersten Menuepunkt Grak. 53

54 Eine andere Möglichkeit, die Grak-Einstellungen zu verändern, besteht darin, in der Menüzeile auf Einstellungen, im Rollbalken-Menü auf erweitert und dann auf das Grak-Symbol zu klicken. Du solltest Dich mit diesen Möglichkeiten vertraut machen. Versuche einmal, diese Abbildung ( 17) hier nachzustellen! Abbildung 17: GeoGebra-Fenster 9.3 Lösung Bedingungen Aus dem Text der Aufgabe folgen die Bedingungen: genau 100 Objekte a+b+c = 100 mindestens 10 vom Typ aleph a 10 maximal 50 vom Typ aleph a 50 mindestens 10 vom Typ beth b 10 maximal 50 vom Typ beth b 50 mindestens 10 vom Typ gimel c 10 maximal 50 vom Typ gimel c 50 mindestens doppelt so viel von beth wie von aleph b 2a maximal dreimal so viel von gimel wie von aleph c 3 a maximal 200 Stunden 2a+3b+c

55 9.3.2 Es gibt zwar drei Variablen, sie sind aber durch die Bedingung a + b + c = 100 c = 100 a b (148) miteinander verknüpft. Diese Beziehung können wir nutzen, um die Anzahl der Variablen zu reduzieren Ungleichungen für das Planungsvieleck Wir setzen c in die anderen Bedingungen ein: a 10 (149) a 50 (150) b 10 (151) b 50 (152) 100 a b 10 a + b 90 (153) 100 a b 50 a + b 50 (154) b 2a (155) 100 a b 3 a 4a + b 100 (156) 2a + 3b a b 200 a + 2b 100 (157) Planungsvieleck für GeoGebra (I) Wir bedenken, dass Geogebra in der 2D-Graphik nur die Variablenbezeichner x und y verarbeiten kann und dass wir die verbotenen Bereiche markieren wollen. Damit benutzen wir für Geogebra das folgende Ungleichungssystem und erhalten eine erste Ansicht des Planungsvieleckes ( Abb. 18) x 10 x 50 y 10 y 50 y x + 50 y x + 90 (X) y 2x (X) y 4x (X) y 1 2 x

56 Abbildung 18: Planungsvieleck - 1.Version Beachte, dass bei dieser Aufgabe nur die drei mit (X) gekennzeichneten Bedingungen als relevante Bedingungen übrig bleiben. Sie decken die anderen sechs mit ab Planungsvieleck für GeoGebra (II) Um den interessanten Bereich besser beurteilen zu können, begrenzen wir die Ansicht (vgl-9.2.1) auf 10 x 50 und 30 y 50. Das Raster für das Koordinatengitter setzen wir auf 1 ( Abb. 19). Durch Klicken auf die blauen Punkte vor den Ungleichungen erreichen wir, dass diese zwar erhalten, aber nicht mehr dargestellt werden. Damit wird die Zeit, die Geogebra zum aktualisieren braucht, etwas verringert Ecken des Planungsvieleckes Wir wissen bereits. dass nur die Ecken bzw. Kanten des Planungsvieleckes zu optimalen Lösungen führen können. Geogebra kann zwar Ungleichungen graphisch darstellen, aber nicht die zugehörigen Schnittpunkte berechnen. Deshalb denieren wir zusätzlich die zu- 56

57 Abbildung 19: Planungsvieleck - 2.Version gehörigen Geraden. y = 2x (158) y = 4x (159) y = 1 x + 50 (160) 2 Mit dieser zusätzlichen Denition kann GeoGebra die Eckpunkte berechnen: Klicke links oben bei dem Werkzeug Punkte auf das kleine Dreieck rechts unten. Es önet sich eine Untermenue. Dort klickst Du auf auf Schneide ( Abb). Danach musst du geeignete Objekte zum Schneiden auswählen. Ich empfehle, nicht in die Grak zu klicken (man trit zu leicht nicht genau genug), sondern auf die Denitionen im Algebra-Fenster. Klickst du nun zu erst auf die Geraden j und k, so erzeugts du den Schnittpunkt A(16.67, 33, 33) der beiden. Beachte, dass Geogebra hier Dezimalzahlen anzeigt. Entsprechend gehst Du bei den beiden anderen Geraden vor. 57

58 Du erhältst die drei Eckpunkte: A ( ) ; B (20 40) ; G ( ) ; Gewinnfunktion Für die Gewinnfunktion folgt nach dem Ersetzen von c durch 100 -a -b: G(a b c) = 20a + 8b + 12c (161) G(a b) = 20a + 8b + 12(100 a b) (162) = 8a 4b (163) Wir haben drei Eckpunkte des Planungsgebietes. Die Gewinne für diese drei Punkte sind schneller berechnet, als eine Untersuchung mit der Zielgeraden. Wir denieren in GeoGebra : G(x, y) = 8x 4y und berechnen dann die Werte für die drei Eckpunkte mit ( ) usw. g(16, 67 33, 13) = = (164) g(20, 40) = = 1200 (165) g(14, 29, 42, 86) = = 1142, 86 7 (166) (167) (Beachte, dass bei der Eingabe der Dezimalwerte geringe Rundungsabweichungen auftreten können. Z.B. ist G(16.67,33.33)=1200,04. Dann musst du überlegen, ob die Ergebnisse für die Punkte A und B gleich oder doch verschieden sind Damit stehen alle Punkte auf der Strecke von A(16, 6 33, 3) bis B(25 50) für Kombinationen mit maximalem Gewinn. (Beachte, dass sowohl die Zielgerade als auch die Gerade zur Bedingung b 2a die Steigung 2 haben) Berücksichtigt werden muss noch, dass nur ganzzahlige Lösungen möglich sind: Damit bleiben die vier Wertetripel {(aleph beth gimel)} = {( ), ( )}, ( )}, ( )} und ( )} als Lösungen. 58

59 Abbildung 20: Planungsvieleck - End-Version 59

60 10 und nun LibreCalc/OOCALC Wir können natürlich auch versuchen, das Problem mit LibreCalc anzugehen. Die Bearbeitung mit GeoGebra ist aber viel eleganter. In früheren Durchgängen habe ich die Bearbeitung mit OOCalc besprochen - wir werden es nicht. Wer sich allerdings im Umgang mit Tabellenkalkulationen üben möchte, sollte dieses Kapitel durcharbeiten. Ich beschränke mich auf Probleme mit maximal fünf Ungleichungen. Die Tabelle lässt sich aber prinzipiell erweitern Eingaben Bei dem obigen Beispiel (Saftpanscher II, Ansatz mit Elimination von h, Kap ) haben wir die Zielfunktion: K (m, p) = m p (168) und die Ungleichungen: p 10 m 2 (169) p 2 3 m (170) m 5 (171) p 8 (172) m 1 (173) Für die Eingabe wird die erste und die letzten beiden Gleichungen noch aufgearbeitet: Es wir später einfacher sein, wenn wir hier nur Gleichungen des Typs ax + by c haben. Da gilt : a > b a < b formen wir sie um zu: 1m +( 2p) 20 (174) 2m +3p 40 (175) 1m +0p 5 (176) 0m +( 1p) 8 (177) 1m +0p 1 (178) 60

61 Abbildung 21: Eingabe der Parameter Die Farben der Buchstaben in der ersten Spalte werden später in der ganzen Tabelle den Geraden zu den entsprechenden Ungleichungen zugeordnet. Die gelben Felder in den Spalten B,E und H markieren - wie bei mir üblich - Felder, in denen Parameter eingegeben werden. Bei anderen Aufgaben sind also nur hier Werte einzugeben! In das Feld H5 kannst Du zuerst mal einen beliebigen Wert (z.b. -4) eintragen; dieser Eintrag wird später durch eine Formel ersetzt Schnittpunkte Bei fünf Geraden haben wir bis zu zehn Schnittpunkten (bei parallen Geraden, oder wenn mehr als zwei Geraden durch den selben Punkt velaufen, sind es weniger) Diese zehn Punkte werden mit den im Kapitel 7 entwickelten Lösungsformeln (102) bestimmt. Wenn du dich an die Vorgaben des Abbildungen (21) und () hältst, musst du in z.b. Zellen D24 und G24 eingeben: D20 : =WENN(B$9*E10-E$9*B10<>0;(H$9*E10-E$9*H10)/(B$9*E10-E$9*B10);"") G20 : =WENN(B$9*E10-E$9*B10<>0;(B$9*H10-H$9*B10)/(B$9*E10-E$9*B10);"") Die Formeln in den anderen Zellen der Zeile 20 werden nach dem gleichen Schema erzeugt. Diese Zeile wird dann kopiert und schrittweise angepasst. (siehe Abb. 22) - aber Vorsicht, dort können auch noch Tippfehler sein). Ein Hinweis: zuerst wird der Schnittpunkt zu A (Zeile 9) und B (Zeile 10) bestimmt. in den nächsten vier Zeilen stehen nur Schnittpunkte zu A mit den anderen; deshalb die $-Zeichen vor den Neunen. Vorsicht! Du musst dabei sehr sorgfältig arbeiten, damit du keine Fehler machst. Die Schnittpunkte kennst Du ja schon. Damit hast Du eine Kontroll- Möglichkeit. ( siehe Abb. 23) 61

62 Abbildung 22: Formeln für die Schnittpunkte Abbildung 23: Bestimmung der Schnittpunkte 10.3 Überprüfung der Schnittpunkte Ein Teil der Schnittpunkte liegt ausserhalb des Planuungs-Vieleckes. Dies habe ich rechts von der Berechnung des Punkte überprüft. Um z.b. zu prüfen, ob der Schnittpunkt von den zu den Bedingungen A und B geörenden Geraden die Bedungung C erfüllen, gebe ich in das Feld L24 ein: =WENN($B$11*D24+$E$11*G24<=$H$11;1;0) In D24 und G24 sthen die x- bzw. y-werte des Schnittpunktes. Es wird einfach abgefragt, ob dieses Wertepaar die Bedingung C erfüllt. Wenn sie es tun, wird der Wert des Feldes L20 auf 1 gesetzt, sonst auf 0. 62

63 Die weiteren Bedingungen werden auf die gleiche Art überprüft. Im Feld T24 stelle ich mit dem Befehl =UND(J24:N24) fest, ob alle Ungleichungen erfüllt sind. Es wird überprüft, ob alle Felder von J20 bis N20 eine eins enthalten. (eine eins bedeutet wahr, eine null bedeutet falsch) Dies ist nicht erfüllt; der Schnittpunkt AB liegt nicht im Planungsgebiet. Abbildung 24: Prüfung der Schnittpunkte Bei den anderen Schnittpunkten gehst du analog vor Einschub: bedingte Formatierung. Du hast sicher schon bemerkt, dass einige Felder rot bzw. grün eingefärbt sind. Die habe ich nicht per Hand erledigt - es würde ja dann auch nicht mehr für veränderte Aufgaben passen. Für diesen Zweck gibt es das Werkzeug bedingte Formatierung. Wie der Name schon andeutet, wird das Format einer Zelle in Abhängigkeit von einer Bedingung unterschiedlich festgelegt eigene Formatvorlagen 63

64 Zuerst stellen wir eine geeignete Vorlage her. Wenn du auf die Funktionstaste F11 drückst, erscheint ein kleines Pop-Up- Menü. Klicke mit der rechten Maustaste auf Standard, dann auf Neu. In dem Assistentender sich dann önet, änderst du den Namen von der Voreinstellug Unbenannt1auf nicht_erlaubt. Danach klickst Du aur den Reiter Hintergrundund setzt die neue Hintergrundfarbe durch Mausklick (ich habe Orange4gewählt). Man könnte jetzt noch weitere Eigenschaften ändern, dies halte ich hier aber nicht für sinnvoll bedingte Formatierung. Nun geht es an die eigentliche bedingte Formatierung. Markiere ein Feld, das eine 0 zeigt. Nach Klicks auf Format, Bedingte Formatierungönet sich das folgende Fenster: Abbildung 25: Bedingte Formatierung Wir wählen die Einträge so, wie sie abgebildet sind. Danach markierst du den Bereich von J19 bis 029 und setzt mit Bearbeiten - Letzter Befehl: Attribute diese bedingte Formatierung im ganzen markierten Bereich Dabei ist wichtig zu wissen, dass Falschdurch die 0mit abgedeckt wird Gewinne Berechnung In der obigen Abbildung (24) siehst du in der Spalte P bereits einige Gewinne eingetragen. Es fördert sicher die Übersicht, die Gewinne nur für die Schnittpunkte zu berechnen, die zulässig sind. Dies errreichen wir mit einer WENN-Bedingung (Beispiel: Zelle P20): =WENN(O20=1;D20*$B$5+G20*$E$5;"") 64